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Mathématiques appliquées

Fabriquer un dendromètre de fortune

Un modèle inspiré du Blume Leiss

Publié par Thiébaut Jourdain

Le dimanche 28 août 2016

Mis à jour le 1er septembre 2016

J’ai toujours été épaté par ces personnes sûres d’elles-même qui vous donnent la hauteur des arbres à vue, sans hésitation. Mais depuis que j’ai fabriqué ce dendromètre, je me suis aperçu qu’il y avait surtout beaucoup de frimeurs.

Cet appareil de fortune suffit à remettre un peu les pendules à l’heure, du moins à environ deux mètres près : j’ai pu le vérifier sur une dizaine d’arbres à l’aide d’un télémètre laser.

Modèle d’inspiration : le Blume Leiss

Dendromètre « Blume-Leiss »
Document n°2608
Dendromètre « Blume-Leiss »

Modèle réalisé : dendromètre de fortune

Dendromètre de fortune
Document n°2609
Dendromètre de fortune

Principe de fonctionnement : tangente et triangle rectangle

Cet appareil utilise la tangente, une fonction trigonométrique très utile lorsqu’on souhaite s’éclipser discrètement, par exemple lors d’une soirée mondaine.

Schématiquement, le pied et la cime de l’arbre d’un côté, ainsi que les yeux de l’observateur de l’autre côté, forment un triangle. Si l’observateur est situé sur le même plan que l’arbre, ce triangle est formé de deux triangles rectangles dont l’angle droit commun est le point où le regard croise le tronc.

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Considérons maintenant un triangle rectangle arbitraire qui contient l’angle  (dans notre cas, c’est le point représenté par l’observateur) :

Représentation de la tangente d’un triangle
Document n°2602
Représentation de la tangente d’un triangle
Source : wikipedia

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

  • l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit, une jambe de l’angle  et le côté le plus long du triangle (dans notre cas, il s’agit de la ligne imaginaire qui relie les yeux de l’observateur à la cime de l’arbre) ;
  • le côté opposé : c’est le côté opposé à l’angle  (dans notre cas, c’est la hauteur de l’arbre) ;
  • le côté adjacent : c’est le côté qui est une jambe de l’angle Â, qui n’est pas l’hypoténuse (dans notre cas, c’est la distance qui sépare l’observateur de l’arbre).

La tangente d’un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent : tan(Â) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent = o/a.

Réciproquement, la longueur du côté opposé = tan(Â) x côté adjacent.

Ainsi, si l’on connaît l’angle formé, au niveau de l’observateur, entre le côté adjacent et l’hypothénuse, ainsi que la distance qui sépare l’arbre de l’observateur, on peut calculer la hauteur de l’arbre.

Utilisation du dendromètre selon la déclivité du terrain

Avec cet appareil, plus la distance qui vous sépare de l’arbre à mesurer se rapproche de sa hauteur, meilleure est votre précision.

Faites le malin deux minutes (ou la maline !) et essayez d’estimer la hauteur de l’arbre à vue de nez, puis placez-vous à la distance approchante : 15m, 20, 30 ou 40 mètres (à l’aide d’un double décamètre).

On appellera P le pied de l’arbre, Y le point où vos yeux arrivent quand vous regardez horizontalement et C le point cime.

Visez la cime en laissant le pendule bien libre. Quand le pendule est stabilisé, bloquez-le avec l’autre main. Lisez directement cette première mesure sur la graduation correspondante (c’est à dire selon la distance qui vous sépare de l’arbre : 15, 20, 30 ou 40 mètres) : cette mesure correspond à YC, la hauteur de la cime par rapport à vos yeux.

Quand vous avez YC, plusieurs cas de figure pour connaître la hauteur de l’arbre :

  • L’arbre est situé grosso-modo sur le même plan que vous : dans ce cas, la hauteur de l’arbre est égale à YC + YP (le terrain étant plat, YP correspond normalement à la hauteur de vos yeux par rapport au sol)
    L’observateur est sur le même plan
    Document n°2603
    L’observateur est sur le même plan
    Mesure de la hauteur de l’arbre lorsque l’observateur est sur le même plan : YP + YC
  • Le terrain est en pente et vous êtes en amont (le pied de l’arbre est au-dessous de vos pieds mais la cime est au-dessus de votre tête) : la hauteur de l’arbre est toujours théoriquement égale à YC + YP. Mais YP ne correspond plus à la hauteur de vos yeux par rapport au sol : vous devez la mesurer en faisant une visée du pied de l’arbre (d’où les graduations inférieures à zéro).
    L’observateur est en amont
    Document n°2604
    L’observateur est en amont
    Mesure de la hauteur de l’arbre lorsque l’observateur est en amont : YP + YC
  • Le terrain est en pente et vous êtes en aval (la cime et le pied de l’arbre sont au-dessus de vos yeux) : la hauteur de l’arbre est théoriquement égale à YC - YP (là aussi, YP doit être mesurée en faisant une visée du pied de l’arbre).
    L’observateur est en aval
    Document n°2605
    L’observateur est en aval
    Mesure de la hauteur de l’arbre lorsque l’observateur est en aval : YC - YP

Préparatifs pour la fabrication

Matériel :

  • un morceau de contreplaqué de 10mm d’épais (19 x 15 cm) ;
  • un rayon de bicyclette ;
  • un boulon de 19 ;
  • un tube d’aluminium de 18cm (20mm de diamètre extérieur) ;
  • deux serres-câbles ;
  • scotch double-face ;

Outils :

  • une scie sauteuse ou à chantourner ;
  • une perçeuse ;
  • une lime ;
  • une paire de ciseaux

Fabrication

  • Téléchargez la grille de lecture directe que j’ai mise au point (cela vous évitera de tout recalculer), imprimez-là en conservant l’échelle et découpez-là.
    Graduations à imprimer et à coller sur le dendromètre
    Document n°2607
    Graduations à imprimer et à coller sur le dendromètre
    Graduation des angles de visées avec la lecture directe de la hauteur pour les distances de 15, 20, 30 et 40 mètres.
  • Tracer les découpes sur le morceau de contreplaqué en y posant la grille de lecture et en vous aidant des cotes ci-dessous. Notamment, pensez à bien tracer l’axe 0 degrés, qui doit être parfaitement perpendiculaire à l’axe de visée.
    Dendrometre de fortune : cotes de fabrication
    Document n°2610
    Dendrometre de fortune : cotes de fabrication
  • Découpez le contre-plaqué et percez le trou destiné à recevoir le rayon de bicyclette sur l’axe 0, ainsi que ceux qui serviront à la fixation du tube.
  • Percez le boulon pour le fixer sur le rayon de bicyclette. Tracez le rayon à l’endroit où il doit être plié pour rentrer dans le trou. Pliez-le à angle droit dans un étau puis fixez-le sur le contreplaqué en repliant la partie qui dépasse de l’autre côté. Astuce : pour évitez qu’à ce moment la tige ne se serre sur le contreplaqué, ajoutez une petite sur-épaisseur que vous retirerez une fois le pliage terminé (rondelle large par exemple). Vérifiez que le boulon pendule librement avant de le coller sur l’extrémité du rayon.
  • Fixer le tube à l’aide des deux serres-câbles.
  • Plastifiez et collez le grille à l’aide du scotch double-face, de façon à ce que l’axe du 0 soit bien aligné sur le tracé prévu, perpendiculairement à l’axe de visée, en superposant son centre au trou de rotation du pendulaire.

Remarque : pour les gauchers, il est préférable de tenir l’appareil dans la main gauche et de bloquer le pendule avec la main droite. Le montage doit donc être inversé.

Et maintenant, bonnes mesures !